▣ 수학사 교육의 필요성과 유용성

지금의 학교 수학은 잘 정리되고 완성된 형태의 지식으로 학생들에게 전달 되고 있다. 그런 수업방식 때문에 학생들에게 수학은 원래부터 잘 정리되고 완성된 진리라는 잘못된 인식을 심어주고 있다. 그래서 학생들은 수학을 기피하고 흥미를 잃고, 암기하여 성적을 받기 위해 공부를 하고 있다.

학생들은 수학하는 경험보다는 기계적인 기호 조작으로서의 알고리즘을 익히는데 치중하고 있다. 그 결과 암기식 수학 문제 풀이에 급급해 하고 있다. 이러한 이유로 학생들은 수학이 실용적이고 유용한 과목이라기보다 여러 공식 암기와 문제풀이 방법만이 중요한 과목으로 생각한다.

그러나 수학사를 통한 수업은 수학적 개념을 완성된 결과로서 단순히 전달하는 것이 아니라, 수학적 개념이 변천되어 온 과정을 보여주고, 직접 해보게 함으로써 학생들에게 동기유발을 시키는 것이다. 그 경험을 통하여 수학에 대한 긍정적인 태도와 흥미를 느끼게 해 주고 창의적 사고를 키워줄 수 있다.

▣ 수학교육에서 수학사의 역할

· 첫째, 수학의 실용성을 보여주는 훌륭한 방법이다.

· 둘째, 알고리즘적 계산수학을 반성하여 개념적 사고를 고취 한다.

· 셋째, 수학에서 스토리 텔링식 수업과 학생들의 적극적 참여가 가능한 유용한 수업방식이다.

· 넷째, 문제를 해결해나가는 수학자의 삶의 자세를 통해서 수학적 사고의 인간적인 모습을 알게 하여 학습동기를 유발하고 수학학습에 생기를 불어 넣어줄 것이다.


결국 모든 학문은 현실인식을 바탕으로 왜 그럴까 하는 문제의식에서 출발해서 어떻게 합리적으로 해결할 수 있을까에 대한 진지한 고민이다.
인류의 발전에는 그러한 철저한 고민을 한 수학자, 과학자라는 거인들이 있어서 오늘날의 우리가 있다는 사실을 느끼고 생각할 기회를 주게 될 것이다.

▣ 수학사 연표

▣ 수학사 강의 내용

▣ 통치기술로 시작된 수학

1. 칼쿨리를 아시나요?

º 셈과 수학

· 까마귀나 앵무새를 포함한 동물도 수를 헤아릴 수 있다.

· 수를 파악하는 능력은 원시 인류에게도 필요한 능력이었을 것이다.

· 수를 추상화하여 표시하기까지는 오랜 시간이 필요했다.

º 인류가 남긴 최초의 수학적 기록

º 수학의 추상화 (기호화)

물고기 3마리 + 염소 3마리 = 6

º '계산하다'라는 뜻의 영어 'calculate'의 유래

<수천년 전 작은 돌 하나에 물건 하나씩 대응시켜서 개수를 셈하는 방법>

이란 슈사 지역에서 출토된 칼쿨리 (calculi) : 

칼쿨리는 가축의 수를 세기 위해 썼던 돌멩이다. 칼쿨리를 담은 항아리 겉에는 안의 돌의 개수와 같은 구멍이 있다.

º 수와 숫자의 구별

· 수를 문자(숫자)로 표시 - 일대일 대응을 벗어남

· 문제 ) 2529에서 가장 작은 수와 가장 작은 숫자

· 가장 작은 수(9)와 숫자 (크기가 모두 같다)

· 수 : 많고 적음을 비교하거나 잴 수 있는 크기의 정도인 양, 범위, 순서를 나타내는 것

· 숫자 : 수를 표시하기 위한 기호 또는 문자

지구 상 대부분의 문명들이 손가락과 발가락의 개수와 관련있는 10진법 혹은 20진법 (멕시코 마야족)으로 숫자로 표기하고는 한다.
중국의 음양설의 영향으로 데카르트는 2진법의 아이디어를 내고 오늘날 컴퓨터에 사용된다. 
0~9까지의 숫자를 뜻하는 'digit' 는 숫자, 손가락이라는 뜻
우리말 손가락이 모두 닫히면 '다섯' 열리면 '열' 
믿거나 말거나

2. 들어는 봤니? 아메스 파피루스

· BC 1650년 경 이집트 람세스 2세 무덤 출처

· 파피루스 길이 5.5m 폭 0.33m, 파피루스 (paper 어원) 갈대

· 영국 런던 대영박물관 소장. 항상 천으로 덮어 빛으로부터 보호

· 내용 : 분수를 나열한 표와 도형 넓이, 피라미드 부피 구하는 법 등 87문항 수학문제 → 견습생 교육을 위한 기출문제집 필사

º 50번 문제 : 지름이 9인 원의 넓이를 구하라.

· 지름 9등분 후 1등분을 버림

· 변이 8인 정사각형의 넓이 = 64

· 현대 원 넓이 : 63.59 (4.5 x 4.5 x3.14)

º 문제 : 10명에게 9개의 빵 지급 방법

· 분수 출현 : 입 밑에 손가락 개수표시 (단위분수만 씀)

·  1/2, 1/3, 1/4...2/3만 예외적으로 있음

· 제일 먼저 가장 큰 분수 2/3로 나눔, 1/3 + 1/3로 하나 만듬

·  남은 것은 2개 (1/5로 나눔) + 1/3(1/ 30)

·  한 사람 당 2/3 + 1/5 + 1/30 (= 9/10)을 지급

º 이집트 귀족 메나의 무덤 벽화

· 밀 수확량을 측정해 세금을 매기는 이집트 관리의 모습

· 농민에게 땅을 나눠주기 위해 기하학이 발달

· 농사의 축복을 비는 제사일을 정할 때도 계산술이 필요


· 범람 후 땅의 경계를 다시 정함에 있어서 높이, 무게, 면적 등이 중요

· 토지를 측정하는 측량술이 바로 기하학의 출발

· 기하학 (geometry) = 땅(geo) +  측정(metron)

· 계산술과 측량술은 통치를 하는데 가장 실용적인 기술

º 바빌로니아 수도 바빌론 메소포타미아 문명

· 점토판 쐐기 문자 60분법
  (60은 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 등으로 나누어짐)

· 이집트와 바빌로니아 수학의 한계는 현실 문제를 위한 경험적 해결책으로 사용함으로써 일반적 원리를 탐구하는 수학이라는 학문으로 끌어 올리지 못함.

· 지배층들만의 지식으로 신의 지혜라며 감추고, 신비주의 때문에 보금이 안됨.

▣ 내가 생각하는 수학사 : 수 읽는 방법

사람은 모두 개의 손가락을 가지고 있으므로 초기에 2, 3진법을 사용하다가 10진법으로 점차 바뀌었다 손가락을 사용해서 수를 표기했다는 이론은 로마 숫자에서 살펴 볼 수 있는데, 

Ⅴ는 한 손을 완전히 다 편 모양을 나타내는 것이고, Ⅹ는 두 손을 펴서 서로 위 아래로 마주 대고 있는 모습을 나타낸다고 한다. 
로마는 이와 같이 5진법을 사용하였고, 메소포타미아는 60진법을 사용하였다.

즉, 민족에 따라 다양한 진법을 사용하였으며, 10진법을 세계적으로 사용하게 된 것은 몇 백년 밖에 안 되었다. 
서양에서는 피보나치의 노력으로 17세기가 되어서야 아라비아 기수법이 로마 기수법을 대체하였고, 우리 나라에서는 1898년 갑오경장 때 공식적으로 사용하였다.

º 수 읽는 방법

처음에는 일대일 대응에 의해 수를 나타내는 신체 부위나 물건을 가리키다 좀 더 편리한 방법의 일환으로 수를 읽게 되었으리라고 짐작한다.
읽는 방법은 구체적으로 가리키는 대상을 그대로 표현하였는데 영어에서 a herd of cows, a flock of bird, a school of fish, a pride of lions를 통해 알수 있다.
그러나 이러한 방식은 모든 사물에 각각 다른 수사를 붙여야 하므로 불편하였을 것이다.
따라서 인간은 수많은 세월을 거쳐 구체적 사물을 사상하고 공통된 성질을 추상화함으로써 하나, 둘 이라는 모든 사물에 쓸 수 있는 수사를 만들게 되었다.

남아메리카의 인디언들은 다음과 같이 손가락이 구부러진 상태를 수사로 나타내었다.
1 : 끝이 구부러졌다.
2 : 하나 더 구부러졌다.
3 : 가운데 것이 구부러졌다.
4 : 단 하나만 남았다.
5 : 내 손은 죽었다.(끝났다.)
10 : 내 손들은 죽었다.

따라서, 4일 동안 잘해보자는 단 하나 남은 날들 동안 잘해 보자가 된다. 
그렇다면 "네 사람이 죽고, 두 손이 끝났으며, 발 하나가 끝나며 4이다." 는 얼마일까?
정답은 3의 배수 중 가장 큰 두 자리 수.

우리나라의 수사도 손가락을 보고 나타냈다는 의견으로 다섯은 손가락을 다 오므려서 닫혔다는 뜻을, 열은 모두 열렸다는 의미를 나타낸다는 견해도 있다.

수사를 통해서 인간이 10까지 가장 쉽게 인식했나느 것을 알 수 있는데, 영어에서 eleven은 one-over, twelve는 tow-over를 나타낸다는 주장도 있다. 이러한 영어의 숫자 표기법 때문에 영어권 어린들이 숫자를 배우는데 많은 어려움을 가지고 있다고 한다.

원시인들은 신체의 적절한 부분을 짚어나감으로써, 작은 수들을 나타내었다. 뉴기니 파퓨아족은 이러한 방법으로 수를 나타내었다.

▣ 학생 심화활동 활동지 1

신체의 각 부분을 수 대신 사용했던 때입니다. 전쟁에서 승리한 편이 진 편에게 다음과 같이 선물을 바치라고 요구했습니다. 위의 그림을 참고해서 바르게 풀이를 해보세요. 그림속의 대화는 참고만 하고 문장 속의 물음을 해결하시오.

"우리 병사가 왼쪽 손목만큼 죽었으니 그 한 사람, 한 사람에 대하여 왼쪽 귀만큼의 짐승 가죽과 코만큼의 쌀, 그리고 오른쪽 어깨만큼의 진주를 바쳐라."

그렇다면 진편에서는 각각 얼마만큼의 짐승 가죽과 쌀 그리고 진주를 바쳐야 할까요?

죽은 병사의 수는 왼쪽 손목 만큼이라고 하였기 때문에 17명 입니다. 
따라서, 죽은 병사 한 사람 당 짐승 가죽을 왼쪽 귀(14)만큼 주어야 하므로, 짐승 가죽은 모두 17(명) x 11 = 187(가마)이 됩니다.
진주는 한 사람 당 오른쪽 어깨(8) 만큼이라고 했으니까 17(명) X 8 =136(개)이 됩니다.

▣ 내가 생각하는 수학사 : 숫자가 만들어지기까지

숫자가 없던 아주 먼 옛날, 사람들은 손가락을 펴 보이거나 양의 다리만큼(4)이라는 말로 간단한 수를 나타냈습니다. 그러다가 신체의 각 부분을 수 대신으로 이용하기도 했는데, 뉴기니아 파푸스 족은 얼마 전까지만 해도 이런 방법으로 수를 세었다고 합니다. 그러니까 9라는 수를 나타낼 때에는 오른쪽 귀를 가리키면 되었답니다. 

그 후, 사람들은 사람의 몸을 이용하는 데서 한 걸을 나아가 노끈의 매듭이나 돌멩이, 진흙 등의 물건을 이용하여 더욱 큰 수를 나타낼 수 있게 되었답니다. 오래 전, 남아메리카의 잉카 족은 끈으로 다양하게 매듭을 지어 여러 가지 수를 표혔하였습니다.

기원전 3500년 경, 페르시아 만 근처의 수메르 인과 엘람 인들은 각각의 수를 나타내는 '칼쿨리'라는 여러 가지 모양의 돌을 만들어서 사용하기도 했습니다.

그러나 원시적인 상태에서 벗어나 수의 크기를 한눈에 알아볼 수 있는 최초의 숫자는 메소포타미아의 바빌라로니아 숫자입니다. 이 숫자는 진흙으로 만든 판자 위에 쐐기 모양의 문자를 새겨서 보통 '쐐기 문자' 또는 '설형문자'라고 부릅니다. 그 후, 고대 문명이 발달한 나라들에서는 제각기 다음과 같은 숫자를 만들어 사용했습니다.

기원전 3500년경 페르시아 만 근처의 수메르 인과 엘람 인들의 각각의 수를 나타내는 '칼쿨리'라는 여러 가지 모양의 돌을 만들어서 사용하기도 했습니다.

그러나 원시적인 상태에서 벗어나 수의 크기를 한눈에 알아볼 수 있는 최초의 숫자는 메소포타미아의 바빌로니아 숫자입니다. 이 숫자는 진흙으로 만든 판자 위에 쐐기 모양의 문자를 새겨서 보통 '쐐기 문자' 또는 '설형 문자'라고 부릅니다. 그 후, 고대 문명이 발달한 나라들에서는 제각기 다음과 같은 숫자를 만들어 사용했습니다.

▣ 학생 심화활동 활동지 2 : 수와 미신     

우리나라 사람들이 싫어하는 숫자 '4'를 어떻게 하면 좋은 의미로 사용할 수 있을까요? 창의적인 생각으로 다양한 방법을 찾아보세요.
(아래 내용을 꼭 숙지 후 문제 해결하기)

4에 대한 동양인들의 생각은 특별하다. 한 · 중 · 일 등 동양 3국 문화권에서는 '4' 자에 대한 미신이 있다. 이 글자의 발음이 '죽을 사(死)자와 꼭 같기 때문이리라. 그래서 엘리베이터나 고층 건물에는 4층을 'F' 등으로 표시하거나 아예 빼버리고 3층에서 5층으로 뛰는 경우까지 있다.
마찬가지로 일본에서는 전화번호 등에서 '94'를 피한다. 숫자의 발음이 '급사'하고 같기 때문이란다.

구체적인 예를보면 한번 고층 아파트들을 돌아다녀 보시라. 거의 모든 이 아파트들에 아예 4층이 없는 희한한 시설을 발견할 수 있을 것이다. 고층 아파트에 4층이 없다니, 말이 되는 소리인가. 4층이 없는 고층 아파트가 있다니, 해괴한 말이 될 것도 같다. 하여간 아파트의 구조상으로는 엄연히 존재하는 4층을 없애 버리고 5층 이상의 층을 한 단계씩 아래로 끌어 내려놓고 사는 사람들이 우리 한국인들이다. 그리고 그런 기이한 현상을 거의 무감각 적으로, 무의식적으로 대하거나 받아들이며 사는 사람들이 또한 한국인들이다. 

서양에서는 13, 특히 13일과 금요일이 겹치면 불길한 날로 여긴다. 최후의 만찬에 예수와 12제자를 포함한 13명이 참석했고, 예수가 십자가에 못 박힌 것이 금요일이기 때문이라는 설이 가장 잘 알려져 있다. 

음악가 바그너는 13을 불길한 수라고 간주하지 않고 오히려 자신을 나타내는 수라고 생각했다. 바그너의 이름 '리하르트 바그너(Richard Wagner)'는 모두 13개의 알파벳으로 이루어져 있다. 그뿐아니라 그가 태어난 연도는 1813년 이어서 각 자릿값을 더하면 1+8+1+3=13이 된다. 또 바그너는 1883년 2월 13일 사망했는데, 그가 죽은 날은 13일이고 1883년의 앞뒤 숫자도 13이다. 

미국의 어느 건축업자는 고층 아파트의 13층에는 입주를 희망한 사람이 없어서 '12-B'라고 했더니 그때서야 입주 희망자가 모였다고 한다. 이것은 서양 사람들이 '13'을 싫어하는 성향에서 온 것이다. 예수의 최후의 만찬에도 참석자가 13명이었기에 그 후 얼마 안 되어 예수가 십자가에 못 박혔다고 합니다.

서양에서는 매달 '13일'중에서 특히 금요일인 경우는 운이 나쁜 날로 알려져 있다. 이것은 옛날 북유럽의 전통적 미신에서 유래한 것인데 그 후 기독교 문명에까지 옮겨진 것이다. '13일 금요일'을 꺼린는 까닭에는 그럴싸한 이유가 있다. 
 
몇 가지 예를 들면 에덴동산에서 이브가 아담에게 금단의 사과를 먹도록 유혹한 것, 노아가 홍수를 만난 것, 그리고 예수가 십자가에 못 박혀 죽은 날 등은 모두 '13일의 금요일'이었다는 것이다. 
그러나 '13'을 끝까지 싫어한다는 미신을 정면에서 뿌리치고 한사코 '13'을 애용한 하나의 특유한 예가 있다. 미국의 화페 중에서 1달러 지폐 뒤쪽에는 피라미드와 독수리의 그림이 있는데 모두 '13'하고 깊은 연관이 있다.

미신은 각기 문화권 고요의 개념으므로 꼭 같은 현상이 상반되는 예가 흔히 있다. 서양에서는 아침에 밖에 나가자마자 검은 고양이를 보면 재수가 없다는 미신이 있다. 그런데 스코틀랜드에서는 정반대로 이것은 재수가 좋은 징조라고 한다. 그래서 에딘버러의 어느 곳에서는 매일 아침 거의 같은 시간에 검은 고양이 한 마리가 길을 건너므로 어떤 사람들은 그 시간에 그 곳에 이르면 그 고양이가 지나기를 기다렸다가 기분 좋게 출근한다고 한다. 고양이를 소중히 여기는 전통은 고대 이집트 문화에서 볼 수 있다. 그래서 고양이가 죽으면 귀족층이나 부유층에서는 거의 사람이 죽은 경우 못지 않게 장례까지 치렀다는 기록이 있다.
더구나 나무지 많지 않던 이집에서에서 말이다. 그러나 서양 속담에 '고양이는 목숨이 아홉이나 된다는 것은 이것과는 무방하다. 고양이를 높은 곳에서 아래로 던져도 높이뛰기 선수처럼 땅바닥에 반드시 정연한 자세로 서기 때문이란다.

▣ 학생 활동지 1

신문지 한 장의 두께는 일반적으로 0.1mm라고 합니다. 그림처럼 신문지 한 장을 계속 접어보세요. 한 장을 반으로 접고 그 반 접은 것을 또 정확하게 절반으로 접고, 또 그걸 반으로 접고...이런 식으로 50번을 접습니다. 그렇다면 50번을 다 접었을 때 이 신문지의 두께는 어느 정도 일까요? m로 나타내보세요.

▣ 학생 활동지 2

수학은 언제부터 시작되었을까요? 어느 나라에서 가장 먼저 수학적인 의미를 담은 수학이 발달을 했을까요?

▣ 학생 활동지 3

우리 인간들이 사용하는 수는 각 지역별, 시대별로 차이가 있습니다. 현재 전 세계가 공통적으로 사용하는 숫자는 아라비아숫자입니다. 다음 그림을 보고 그 이유를 간단하게 써보시오.

▣ 바코드의 비밀

슈퍼마켓에 진열되어 있는 상품이나 서점의 책을 들여다보면 다음 그림과 같은 표식을 쉽게 보게 된다. 가늘고 굵은 검은 막대와 흰 막대들의 그래프가 있고 그 밑에 숫자들이 쓰여져 있다. 이것을 바코드라 부른다. 이 바코드의 발명은 일의 편리성은 물론 삶의 한 단계 UPGRADE 시킨 결과로 볼 수 있다.

막대의 굵기에 따라 문자나 숫자를 나타내는 특정한 배열이 마치 상품의 신분증과 같은 역할을 한다. 바코드의 판독 원리는 바코드의 검은 막대와 흰 막대의 반사율 차이를 스캐너가 전기 신호로 바꾼다. 전기 신호의 폭을 디지털 1과 0으로 나타내어 그 조합에 해당되는 숫자를 구별한다.

바코드에 나타난 수자는 보통 13자리 (30개의 줄무늬)로 되어 있다. 이것은 표준형이다. 8가지 숫자 (22개의 줄무늬)로 단 단축형도 있다. 
앞의 숫자 3자리는 국가 번호, 그 다음 4자리는 제조업체 번호, 다음 5자리는 각 회사의 상품 번호, 마지막 한자리는 입력이 제대로 되었는지 확인하는 검사 숫자를 나타낸다. 우리나라는 지난 88년 국제 상품 코드 관리 기관에 회원국으로 가입하여 880을 국가 번호로 취득하였다.

바코드에는 상품 코드 번호만 들어있지 가격, 크기, 무게 등의 정보가 들어 있지는 않다. 그러면 계산대에서 찍히는 가격은 어떻게 된 걸까? 붉은 색의 레이저 광선을 이용하는 스캐너로 바코드를 읽으면 상품의 가격이 즉시 입력되도록 만들어 놓은 프로그램이 있기 때문에 가능한 일이다. 바코드를 이용하면 팔린 물건의 종류와 수량들을 컴퓨터로 바르고 쉽게 파악할 수 있다. 또 키보드로 숫자를 입력하면서 걸리는 시간도 줄이고 오타도 방지할 수 있다.